تمارين : مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات

تمارين مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات تمرين 1 -1 حدد مضاعفات العدد14 الأصغر من 200 -2 حدد قواسم العدد 1470 -3 حدد المضاعفات المشترآة للعددين a و b في الحالات التالية b 76 و a 46 - د b 14 و a 70 ج - b 42 و a 65 - ب b 79 و a 37 أ - -4 حدد القواسم للمشترآة للعددين a و b في الحالات التالية b 67 و a 83 - د b 35 و a 72 ج - b 80 و a 336 - ب b 42 و a 54 أ - تمرين 2 8367 1559 387 407 239 49 أولية التالية الأعداد هل 1- -2 فكك الأعداد التالية إلى جداء عوامل أولية 6250 5292 1650 675 تمرين 3 -1 حدد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b في الحالات التالية b 35 و a 72 -ج b 37 و a 19 - ب b 42 و a 27 - أ -2 حدد القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b في الحالات التالية b 35 و a 72 -ج b 37 و a 19 - ب b 126 و a 81 - أ تمرين 4 في الحالات التالية حدد الأرقام a b c علما أن -1 العدد 23a4 يقبل القسمة على 3 -2 العدد 23a4 يقبل القسمة على 3 و لا يقبل القسمة على 9 -3 العدد 23b5c يقبل القسمة على 5 3 و على تمرين5 n m و PGCD m n 24 حيث طبيعيين صحيحين عددين m و n ليكن -1 ما هي العوامل الاولية المشترآة للعددين n و m m و n استنتج ثم PPCM m n فاحسب m n 3456 أن علمت إذا 2- تمرين 6 العدد نعتبر 3 2 a 2 3 7 -1 تأآد أن العدد a يقبل 24 قاسم -2 حدد أصغر عدد صحيح طبيعي k حيث ka مربع آامل أي مربع عدد صحيح طبيعي -3 حدد أصغر عدد صحيح طبيعي m حيث ma مكعب لعدد صحيح طبيعي تمرين 7 -1 بين أن مجموع خمسة أعداد صحيحة طبيعية متتالية هو عدد صحيح طبيعي يقبل القسمة على5 -2 ليكن a عدد صحيح طبيعي آامل مربع aa a a 1 2 3 1 أن بين تمرين 8 أنشر 1- 2 2 n n 1 -2 استنتج أن آل عدد فردي يكتب على شكل فرق مربع عددين صحيحين طبيعيين متتاليين -3 طبق الاستنتاج السابق على الأعداد 101 45 17

تمرين 9 ليكن n عددا صحيحا طبيعيا و nn n 1 2 و n n 1 من آل زوجية أدرس 2 و 4 41 n n 2 3n n تمرين 10 ليكن n و m عددين صحيحين طبيعيين حيث m n -1 بين أن m n و m n لهما نفس الزوجية المعادلة حل 2- 2 2 m n 196 تمرين 11 ليكن n عددا صحيحا طبيعيا فرديا تأآد 1- 2 n nnn 7 5 3 1 التالية الحالات في 8 للعدد مضاعف n 1 2- 2 بين أن n 1 مضاعف للعدد 8 آيفما آان العدد الصحيح الطبيعي الفردي n تمرين 12 ليكن n و m و k أعداد صحيحة طبيعية k للعدد مضاعفين m و n فان k للعدد مضاعفين 7 5 n m و 3 2 n m آان إذا أنه بين تمرين 13 -1 أنشر 3 6 10 1 999999 على 2 3 5 استنتج باقي القسمة للعدد تمرين 14 1- 2 حل المعادلة x y 1 x y 6 35 PGCD x y 24 و x y 504 حيث من y و x حدد 2- -3 حدد الأرقام x و y بحيث العدد الصحيح الطبيعي 11 1x y قابل للقسمة على28 تمرين 15 ليكن n و k من فان n k 5 4 أو n k 5 1 آانت إذا تأآد 1- 2 5 على القسمة يقبل n 1 فان n k 5 3 أو n k 5 2 آانت إذا تأآد 2 5 على القسمة يقبل n 1 n n 1 يقبل القسمة على 2- 4 5 بين أنه مهما آان n من فان العدد

حلول تمرين 1 140 126 112 98 84 70 56 42 28 14 هي 0 200 من الأصغر 14العدد مضاعفات 1- 196 182 168 154 70 49 42 35 30 21 15 14 10 7 6 5 3 2 1 هي 1470العدد قواسم 2- 1470 735 490 294 245 210 147 105 98 -3 - أ المضاعفات المشترآة للعددين a 37 و b 79 هي مضاعفات العدد 37 79 b 42 2 3 7 و a 65 5 13 - ب المضاعفات المشترآة للعددين 65 و 42 هي مضاعفات 65 42 14 5 مضاعفات هي b 14 2 7 و a 70 2 5 7 -ج و a 46 2 23 - د 2 العدد مضعفات هي b 76 2 19 2 2 19 23 أ - 4- 2 b 42 2 3 7 و a 54 2 3 6 3 2 هي 1 42 و 54 للعددين المشترآة القواسم 4 - ب و a 336 2 3 7 4 b 80 2 5 16 8 4 2 هي 1 80 و 336 للعددين المشترآة القواسم ج - 3 2 b 35 5 7 و a 72 2 3 القاسم المشترك الوحيد للعددين72 و 1 35 هو - د a 83 و b 67 عددان أوليان القاسم المشترك الوحيد للعددين83 و 1 67 هو تمرين 2 -49 1 عدد غير أولي لانه يقبل القسمة على 7 و 239 العدد تقسم لا 17 13 11 7 5 3 2 الاولية الاعداد لدينا 2 2 17 239 23 إذن العدد 239 أولي -2 التفكيك إلى جداء عوامل أولية 3 2 6753 5 2 16502 3 5 11 222 52922 3 7 5 62502 5 تمرين 3 - أ 1- 3 b 42 2 3 7 و a 27 3 هو b و a للعددين الأصغر المشترك المضاعف 3 2 3 7 378 b 37 و a 19 - ب المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو 19 37 676 -ج 3 2 b 35 5 7 و a 72 2 9 المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو 35 72 2520 - أ 2- 4 و a 81 3 2 b 126 2 3 7 2 3 9 القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b هو b 37 و a 19 - ب القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b هو 1 -ج 3 2 b 35 7 5 و a 72 2 3

القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b هو 1 تمرين 4 a b c الأرقام نحدد 1- العدد 23a4 يقبل القسمة على 3 يعني أن 0 9 a و a 9 يقبل القسمة على3 a 9 أو a 6 أو a 3 أو a 0 ومنه 2- العدد 23a4 يقبل القسمة على 3 و لا يقبل القسمة على 9 يعني أن 0 9 a و a 9 يقبل القسمة على3 و لا يقبل القسمة على 9 ومنه a 3 أو a 6 القسمة تقبل 10 b c و c 05 و 0 9 b يعني 5 على و 3 على القسمة يقبل 23b5c العدد -3 على 3 - إذا آان c 0 فان b 8 أو b 5 أو b 2 تعني 3 على القسمة تقبل 10 b c و 0 9 b - إذا آان c 5 فان b 9 أو b 6 أو b 3 أو b 0 تعني 3 على القسمة تقبل 10 b c و 0 9 b تمرين5 n m و PGCDm 2 n 4 حيث طبيعيين صحيحين عددين m و n ليكن -1 3 PGCD m 2 n 4 2 3 العوامل الأولية المشترآة للعددين n و m هي 2 و 3 m n 3456 لدينا -2 PGCDm 2 n 4 و m n PGCDm n PPCM m n ومنه 3456 4 2 144 2 3 24 PPCM m n وحيث أن n m فان 3 و m 2 33 72 3 أو n 2 3 2 48 3 و m 2 3 3 2 144 3 n 2 3 24 تمرين 6 3 2 a 2 3 7 1- نتأآد أن العدد a يقبل 24 قاسم 3 2 قاسم 24 يقبل a العدد إذن a 2 3 724 3 7 2- نحدد أصغر عدد صحيح طبيعي k حيث ka مربع آامل أي مربع عدد صحيح طبيعي لدينا 3 2 ومنه a 2 3 7 2 4 2 2 2 k 14 منه و 2 7 a 2 3 7 2 3 7 3- نحدد أصغر عدد صحيح طبيعي m حيث ma مكعب لعدد صحيح طبيعي لدينا 3 2 ومنه a 2 3 7 2 3 3 3 3 k 147 منه و 3 7 a 2 3 7 2 3 7 تمرين 7 1- نبين أن مجموع خمسة أعداد صحيحة طبيعية متتالية هو عدد صحيح طبيعي يقبل القسمة على5 ليكن a عدد صحيح طبيعي a a 1 2 a a 3 a 4 5a 10 5 a 2 5على القسمة يقبل a a 1 2 a a 3 a 4 فان a 2 أن وحيث

2- ليكن a عدد صحيح طبيعي آامل مربع a a 1 2 a a 3 1أن نبين 2 2 4 3 2 4 3 2 2 4 2 2 2 2 1 2 3 1 5 6 1 6 11 6 1 6 2 9 6 1 2 3 1 3 1 3 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a آامل مربع a a 1 2 a a 3 1 إذن تمرين 8 ننشر -1 2 2 n n 1 2 2 2 2 n n 1 2 n n 1 n 2n 1 2- نستنتج أن آل عدد فردي يكتب على شكل فرق مربع عددين صحيحين طبيعيين متتاليين لدينا 2 2 من n آانت مهما n n 1 2 n 1 إذن آل عدد فردي يكتب على شكل فرق مربع عددين صحيحين طبيعيين متتاليين 3- طبق الاستنتاج السابق على الأعداد 101 45 17 2 2 2 2 2 2 101 2 50 1 51 50 45 2 22 1 23 22 17 2 8 1 9 8 تمرين 9 ليكن n عددا صحيحا طبيعيا و n n 1 2 n و n n 1 من آل زوجية ندرس 2 و 4 4 n n 1 2 3n n n -1 و n 1 عددان صحيحان طبيعيان متتاليان ومنه أحدهما زوجي و الآخر فردي و التالي جداؤهما زوجي إذن n n 1 زوجي n 1 زوجية هي n n 1 2 n زوجية التالي و n n 1 2 n 3 n 1 لدينا فرديا n n 1 2 n فان زوجيا n آان إذا زوجيا n n 1 2 n فان فرديا n آان إذا لدينا 2 2 أن حيث و 4 4 n n 1 2 2 2 n n 1 2 فان 2 2 n n 2 زوجي 4 4 n n 1 لدينا 2 3 3 n n n n n و n 3 ليس لهما نفس الزوجية أي احدهما فردي و الآخر زوجي أي اذا آان n زوجي فان n 3 فردي و العكس صحيح إذن زوجي عدد n n 3 ومنه 2 زوجي 3n n تمرين 10 ليكن n و m عددين صحيحين طبيعيين حيث m n 1- نبين أن m n و m n لهما نفس الزوجية العدد m n يمكن أن يكون زوجيا أو فرديا إذا آان m n زوجيا فانه يوجد k من حيث m n 2k بإضافة 2n لطرفي المتفاوتة زوجي m n فان k n أن وحيث m n 2 2 k n 2k n على نحصل إذا آان m n فرديا فانه يوجد k من حيث m n 2 1 k بإضافة 2n لطرفي المتفاوتة فرديا m n فان k n أن وحيث m n 2 2 k n 1 2k n 1 على نحصل

إذن m n و m n لهما نفس الزوجية المعادلة نحل -2 2 2 m n 196 2 2 تكافئ m n 196 2 2 m n m n 2 7 و حيث 196 زوجي فان m n و m n زوجيان 2 ومنه 98 m n m n 14 أو 14 m n m n 50 إذن 48 m n أو 14 m n تمرين 11 ليكن n عددا صحيحا طبيعيا فرديا تأآد -1 2 n n 7 5 n 3 n 1 التالية الحالات في 8 للعدد مضاعف n 1 n 1 مضاعف للعدد 8 آيفما آان العدد الصحيح الطبيعي الفردي 2 2 n- بين أن ليكن n عدد صحيح طبيعي فردي أي يوجد k من حيث n k 2 1 لدينا 2 ومنه n n 1 1 n 1 2 n k 1 4 k 1 وحيث أن k k 1 عدد زوجي لأنه جداء عددين متتاليين بالتالي و k k 1 2 k حيث من k يوجد فانه 2 n k 1 8 إذن 2 8للعدد مضاعف n 1 تمرين 12 ليكن n و m و k أعداد صحيحة طبيعية k للعدد مضاعفين m و n فان k للعدد مضاعفين 7 5 n m و 3 2 n m آان إذا أنه نبين حيث b و a طبيعيين صحيحين عددين يوجد ومنه k للعدد مضاعفين 7 5 n m و 3 2 n m ومنه 7 5 n m bk و 3 2 n m ak 7 3 2 3 7 5 n m ak n m bk و 5 3 2 2 7 5 n m ak n m bk أي 21 14 7 21 15 3 n m ak n m bk و 15n m 10 14n m 10 5ak 2bk و 21n m 15 21n 14m 3bk 7ak ومنه n a 5 2b k و m b 3 7a k بالتالي و إذن n و m مضاعفين للعدد k تمرين 13 ننشر -1 3 6 10 1 3 6 18 12 6 10 1 10 310 310 1 999999 على 2 3 5 نستنتج باقي القسمة للعدد 3 3 6 18 12 6 18 12 6 17 11 5 999999 10 1 10 3 10 3 10 1 10 3 10 3 10 5 4 5 2 10 3 5 10 3 2 10 1 4

أن وحيث 17 11 5 للعدد القسمة باقي فان 2 1 0 3 510 3 2 1 0 1 3 4 هو 5 على 999999 تمرين 14 المعادلة نحل -1 2 x y 1 x y 6 35 ليكن 2 x y 6 6 y 35 1 1 x 35 و 35 العدد يقسمان y 6 و x 1 ومنه x y 1 6 35 0 2 y 9 و 0 3 x 4 و 35 العدد يقسمان y 6 و x 1 أي و حيث أن قواسم 35 هم 1 و 5 و 7 و 35 فان 1 1 6 35 x y أو 1 5 6 7 x y إذن 0 29 x y أو 4 1 x y PGCD x 2 y 4 و x y 504 حيث من y و x نحدد -2 لدينا PGCD x 2 y 4 و منه يوجد عددان صحيحان طبيعيان غير منعدمين a و b حيث x 24a PGCDa 1 b حيث y b 24 و a b 21 منه و 24a b 24 504فان x y 504 أن حيث و 1 و بالتالي 20 a b أو 2 19 a b أو 4 17 a b أو 5 16 a b أو 8 13 a b أو 10 11 a b و نحصل على نتائج الأخرى بإعطاء قيم a للعدد b و العكس لان a و b يلعبان دوران متامثلان و بالتعويض في x 24a و y b 24 نحصل على نتائج 3- نحدد الأرقام x و y بحيث العدد الصحيح الطبيعي 11x1y قابل للقسمة على28 العدد 11x1y قابل للقسمة على28 ومنه 11x1y قابل للقسمة على4 و 7 ومنه 1y قابل للقسمة على 4 و بالتالي y 2 أو y 6 فان y 2 آان إذا 2 2 11x x 12 11012 10 715731 x10 x 10 1 x01 يقبل القسمة على 2 7 وحيث 11x12 قابل للقسمة على 7 فان x 3 ومنه فان y 6 آان إذا 2 2 11x x 62 11016 10 71573 5 x10 x 10 5 x05 يقبل القسمة على 2 7 وحيث 11x16 قابل للقسمة على 7 فان x 3 أو x 8 ومنه 3 إذن 2 x y أو 3 6 x y أو 8 6 x y تمرين 15 ليكن n و k من فان n k 5 4 أو n k 5 1 آانت إذا نتأآد -1 2 5 على القسمة يقبل n 1 فان n k 5 1 آان اذا 2 2 2 n k 1 25 10k 5 5k 2k n 1 يقبل القسمة على 2 5 ومنه n k 5 4 آان اذا 2 2 2 n k 1 25 4 0k 15 5 5 4 k 0k 3 n 1 يقبل القسمة على 2 5 و منه

فان n k 5 3 أو n k 5 2 آانت إذا نتأآد 2 5 على القسمة يقبل n 1 بنفس الطريقة n n 1 يقبل القسمة على 2 4 5- نبين أنه مهما آان n من فان العدد n k 5 4 أو n k 5 3 أو n k 5 2 أو n k 5 1 فان 5 القسمة تقبل لا n آانت إذا n 1 يقبل القسمة على n 1 2 5 يقبل القسمة على 5 أو 2 ومنه بالتالي و 2 2 4 5 على القسمة يقبل n n 1 n 1 1 إذن 4 5 على القسمة يقبل n n 1 n n 1 يقبل القسمة على 4 5 إذا آانت n تقبل القسمة 5 فان n n 1 يقبل القسمة على 5 مهما آانت n من 4 إذن