مبادىء في المنطق

1 بسم الله الرحمن الرحیم الیمني محمد wwwsbaysitecom La logique المنطق محتوى البرنامج العبارات العملیات على العبارات الدوال العباریة المكممات الاستدلالات الریاضیة الاستدلال بالخلف الاستدلال بمضاد العكس الاستدلال بفصل الحالات الاستدلال بالتكافؤ الاستدلال بالترجع القدرات المنتظرة التمكن من استعمال الاستدلال المناسب حسب الوضعیة المدروسة التمكن من صیاغة براھین واستدلالات ریاضیة واضحة وسلیمة منطقیا توجیھات تربویة ینبغي تقریب العبارات والقوانین المنطقیة وطرق الاستدلال انطلاقا من أنشطة متنوعة ومختلفة مستقاة من الرصید المعرفي للتلمیذ ومن وضعیات ریاضیة سبق لھ التعامل معھا ینبغي تجنب البناء النظري والإفراط في استعمال جداول الحقیقة إن درس المنطق لا ینتھي بانتھاء ھدا الفصل بل ینبغي استثمار نتائجھ كلما سنحت الفرصة بذلك بمختلف فصول المقرر اللاحقة الغلاف الزمني لإنجاز الدرس 8 ساعات I العبارات العملیات على العبارات 1 العبارات نشاط تمھیدي نشاط 1 ص 14 من الكتاب المدرسي في رحاب الریاضیات السنة الأولى 1 انقل الجدول التالي في دفترك ثم ضع العلامة quot X quot في الخانة المناسبة صحیح خاطئ كل عدد زوجي قابل للقسمة على 4 مجموع عددین فردیین ھو عدد زوجي 2 عدد لا جدري الإزاحة تحافظ على المسافات الدالة 2 زوجیة دالة x IR حیث x x جمیع المستقیمات المتعامدة في الفضاء متقاطعة 2 ھل توجد من بین الجمل الواردة في الجدول أعلاه جمل صحیحة و خاطئة في آن واحد الجمل الریاضیة الواردة في الجدول ھي نصوص ریاضیة سلیمة لغویا وتحمل معنى قد یكون إما صحیحا وإما خاطئا تسمى عبارات ریاضیة إذا كانت عبارة صحیحة نقول إن قیمة حقیقتھا صحیحة وإذا كانت خاطئة نقول إن قیمة حقیقتھا خاطئة تعریف العبارة في المنطق ھي كل نص ریاضي یحمل معنى یكون إما صحیحا وإما خاطئا ولا یمكن أن یكون صحیحا وخاطئا في آن واحد نرمز عادة لعبارة بأحد الرموز p أو q أو r ملاحظة إذا كانت عبارة p صحیحة فإننا نقول لدینا p مثال لدینا 2 عدد لا جذري 2 العملیات على العبارات 1 نفي عبارة أنشطة تمھیدیة 1 نشاط 4 ص 15 من الكتاب المدرسي

2 2 یقوم أحد التلامیذ إلى السبورة ویكتب مجموعة من العبارات الریاضیة المتنوعة وما یكتبھ التلمیذ على السبورة ینفیھ زملاؤه تعریف نفي عبارة p ھو العبارة التي تكون صحیحة إذا كانت p خاطئة وتكون خاطئة إذا كانت p صحیحة ونرمز لھا بالرمز p أو بالرمز p ملاحظة یمكن أن نمثل نفي العبارة p بالجدول التالي الذي یسمى جدول حقیقة p table de vrit de p الرمز 1 یعني أن العبارة p صحیحة الرمز 0 یعني أن العبارة p خاطئة p p 1 0 0 1 2 عطف عبارتین تعریف عطف عبارتین p و q ھو العبارة التي نرمز لھا بالرمز q وp أو بالرمز p q وتكون صحیحة فقط إذا كانت العبارتان p و q صحیحتین معا تمرین أعط جدول حقیقة p q الحقیقة جدول نفس لھما p q r و p q r أن تحقق 3 فصل عبارتین تعریف فصل عبارتین p و q ھو العبارة التي نرمز لھا بالرمز q أوp أو بالرمز p q وتكون صحیحة إذا كانت إحدى العبارتین p و q على الأقل صحیحة تمرین أعط جدول حقیقة p q الحقیقة جدول نفس لھما p q r و p q r أن تحقق 4 استلزام عبارتین نشاط تمھیدي نشاط 5 ص 16 من الكتاب المدرسي لیكن ABC مثلثا قائم الزاویة في A وغیر متساوي الساقین نعتبر العبارات التالیة ABC quot p مثلثا قائم الزاویة في A quot quot q 2 2 2 quot BC AB AC ABC quot r مثلثا متساوي الساقین وقائم الزاویة في A quot quot AB AC 0 quot s لدینا quot إذا كان ABC مثلثا قائم الزاویة في A فإن 2 2 2 صحیحة عبارة quot BC AB AC بعبر عن ذلك بالقول إذا كانت العبارة p صحیحة فإن العبارة q صحیحة ونقول أیضا العبارة p تستلزم العبارة q p q ونكتب s p p r p s q p صحیحة التالیة الاستلزامات ھل

3 تعریف التزام عبارتین p و q ھو العبارة التي تكون خاطئة فقط إذا كانت p صحیحة وq خاطئة ونرمز لھ بالرمز p q ویقرأ p تستلزم q أو إذا كانت p فإن q تمرین أعط جدول حقیقة p q ھل العبارتان p q و q p لھما نفس جدول الحقیقة الحقیقة جدول نفس لھما p q r و p q r العبارتین ھل ملاحظات 1 من خلال جدول حقیقة p q نستنتج أن إذا علمنا أن p q عبارة صحیحة وعلمنا أن p عبارة صحیحة فإننا نستنتج أن q عبارة صحیحة للبرھنة على صحة الاستلزام p q یكفي أن نفترض أن p عبارة صحیحة ونبین أن q عبارة صحیحة p q للاستلزام العكسي الاستلزام تسمى q p العبارة 2 3 العبارة p q تقرأ أیضا quot لكي تكون q یكفي أن تكون p تمرین 1 تمرین 1 ص 29 من الكتاب المدرسي 5 تكافؤ عبارتین نشاط تمھیدي في النشاط السابق لدینا quot ABC مثلثا قائم الزاویة في A یكافئ 2 2 2 quot BC AB AC نقول إن العبارة p تكافئ العبارة q ونكتب p q تعریف تكافؤ عبارتین p و q ھو العبارة التي تكون صحیحة إذا كانت p و q صحیحتین في آن واحد أو خاطئتین في آن واحد ونرمز لھ بالرمز p q ویقرأ p تكافئ q أو p إذا وفقط إذا كان q أوquot p شرط لازم وكاف لكي تكون qquot تمرین 2 حدد العبارات الصحیحة من بین العبارات التالیة فردي n 1 زوجي n IN من n لیكن 1 x 1 IR من x لیكن 2 x 0 x 0 IR من x لیكن 1 x 0 AB منتصف I المستوى من نقط ثلاث I و B و A لتكن IA BI II الدوال العباریة المكممات 1 الدوال العباریة نشاط تمھیدي x IR حیث x 1 0 الریاضي النص نعتبر صحیحة عبارة 11 0 لدینا x 1 أجل من خاطئة عبارة 2 1 0 لدینا x 2 أجل من كلما عوضنا x بقیمة محددة فإننا نحصل على عبارة إما صحیحة وإما خاطئة عباریة دالة یسمى x IR حیث x 1 0 الریاضي النص تعریف الدالة العباریة ھي كل نص ریاضي یحتوي على متغیر أو أكثر ینتمي إلى مجموعة معینة ویصبح عبارة كلما عوضنا ھذا المتغیر أو المتغیرات بعنصر محدد من ھذه المجموعة wwwsbaysitecom محمد الیمني

4 ترمیز حسب عدد المتغیرات نرمز للدالة العباریة بالرمز Ax أو Px أو Px y أو Px yz أو اصطلاح إذا كانت الدالة العباریة Ax تصبح عبارة صحیحة من أجل العنصر المحدد a فإننا نقول إن a تحقق الدالة العباریة Ax أو Ax تتحقق من أجل العنصر a 2 المكممات أ المكمم الكوني لتكن Px دالة عباریة للمتغیر x من مجموعة E غیر فارغة انطلاقا من Px ننشئ العبارة x E Px التي تكون صحیحة إذا كانت جمیع عناصرE تحقق Px الرمز یسمى المكمم الكوني العبارة x E Px تقرأ مھما یكن x من E لدینا Px أو لكل x من E لدینا Px أمثلة 2 1 x صحیحة عبارة x x 1 0 2 خاطئة عبارة x IR x 1 0 2 صحیحة عبارة x IR x ب المكمم الوجودي لتكن Px دالة عباریة للمتغیر x من مجموعة E غیر فارغة انطلاقا من Px ننشئ العبارة x E Px التي تكون صحیحة إذا كان یوجد على الأقل عنصر من E یحقق Px الرمز یسمى المكمم الوجودي العبارة x E Px تقرأ یوجد على الأقل عنصر x من E بحیث لدینا Px أمثلة 2 2 خاطئة عبارة x Q x 1 0 2 صحیحة عبارة x IR x 2 1 x صحیحة عبارة x IR x ملاحظة إذا كان یوجد عنصر وحید یحقق Px فإننا نكتب x E Px وھذه العبارة تقرأ یوجد عنصر وحید x من E بحیث لدینا Px مثال 9 2 صحیحة عبارة n IN n 3 عبارة بعدة مكممات x y xy quot العبارتان 2 2 x y xy quot و quot x IR y IR 2 2 quot y IR x IR متكافئتان x y xy quot العبارتان 2 2 x y xy quot و quot x IR y IR 2 2 quot y IR x IR متكافئتان x 5 y نأخذ صحیحة عبارة x IRy IR x y 5 العبارة العبارة یحقق لا مثلا y x 7 لأن خاطئة x IRy IR x y 5 العبارة بصفة عامة إذا كانت المكممات من نفس الطبیعة فإن ترتیبھا لیست لھ أھمیة في تحدید المعنى الذي تحملھ العبارة المكممة إذا كانت المكممات من طبیعات مختلفة فإن ترتیبھا لھ أھمیة في تحدید المعنى الذي تحملھ العبارة المكممة 4 نفي عبارة مكممة x E Px العبارة ھو x E Px العبارة نفي x E Px العبارة ھو x E Px العبارة نفي

5 أمثلة نفي العبارة الصحیحة 0 2 0 الخاطئة العبارة ھو x IR x 2 x IR x نفي العبارة الخاطئة 1 0 2 1 0 الصحیحة العبارة ھو x IR x 2 x IR x x IR x 2 الصحیحة العبارة ھو x IR x 2 الخاطئة العبارة نفي تمرین 3 انظر لائحة التمارین تمرین 4 انظر لائحة التمارین تمرین 5 انظر لائحة التمارین III القوانین المنطقیة الاستدلالات الریاضیة Les Lois Logiques المنطقیة القوانین 1 تعریف كل عبارة مكونة من عدة عبارات p و q و r و مرتبطة بینھا بعملیات منطقیة وتكون صحیحة مھما كانت العبارات p و q و r و تسما قانونا منطقیا أمثلة منطقي قانون p و p q q 1 2 قانونا موركان p أو q p و q و q أو q p و p ھما قانونان منطقیان Les Raisonnements Mathmatiques الریاضیة الاستدلالات 2 1 الاستدلال بالاستلزام المضاد للعكس Raisonnement Par La Contrapose تعریف العبارة q p تسمى الاستلزام المضاد للعكس للاستلزام p q منطقي قانون p q q p العبارة خاصیة نتیجة إذا كان في بعض الأحیان یصعب البرھان مباشرة على صحة الاستلزام p q فإنھ یمكن أن نبرھن على صحة الاستلزام المضاد للعكس q p ثم نستنتج أن p q ھذا النوع من الاستلزام یسمى الاستلزام المضاد للعكس تمرین تطبیقي بین أن 1 1 2 2 y y y x x x x y IR2 xy 1و x y xy 1أو x y أن نبین ذلك أجل من 1 1 2 2 y y y x x x 2 x y IR تمرین 6 انظر لائحة التمارین Raisonnement Par Equivalences Successives المتتالیة بالتكافؤات الاستدلال 2 منطقي قانون p q و q r p r العبارة خاصیة

6 نتیجة نستنتج من ھذا القانون أن إذا كان p q صحیح و q r صحیح فإن p r صحیح تمرین تطبیقي 1 1 2 0 أن بین 2 2 x y x y 2 x y IR تمرین 7 تمرین 15 ص 30 من الكتاب المدرسي Raisonnement Par LAbsurde بالخلف الاستدلال 3 منطقي قانون p q و p q p العبارة خاصیة نتیجة من ھذا القانون نستنتج أنھ إذا كان p q صحیحا و p q صحیحا فإن العبارة p صحیحة عملیا نفترض أن p صحیحة ونبین أن p تستلزم q حیث أن q عبارة صحیحة ویكون لدینا q و q عبارة صحیحة وھذا تناقض تمرین تطبیقي بین أن Q n n 1 n IN تمرین 8 P 1 و Q مستویان یتقاطعان وفق مستقیم A D و B نقطتان من P حیث AB یقطع D في نقطة واحدة C لتكن E نقطة من Q لا تنتمي إلى D بین أن المستویین ABE وQ غیر منطبقین 2 تمرین 29 ص 31 من الكتاب المدرسي 3 أ بین أن x زوجي 2 x زوجي ب استنتج أن 2 Q Raisonnement Par Disjonction Des Cas الحالات بفصل الاستدلال 4 منطقي قانون p r و q r p أو q r العبارة خاصیة نتیجة من ھذا القانون نستنتج أنھ إذا كانت q أو p عبارة صحیحة فإنھ للبرھان على صحة العبارة r نبین أن الاستلزامین q r و p r صحیحان ثم نستنتج أن العبارة r صحیحة تمرین تطبیقي بین أن العدد 1 2 IN من n لكل 3 ل مضاعف n n تمرین 9 1 تمرین 7 ص 30 من الكتاب المدرسي 2 تمرین 8 ص 30 من الكتاب المدرسي 3 تمرین 9 ص 30 من الكتاب المدرسي Raisonnement Par Rcurrence بالترجع الاستدلال 5 خاصیة لتكن Pn خاصیة لمتغیر n صحیح طبیعي n0 إ ذا كان یوجد عدد صحیح طبیعي العبارة تكون بحیث ن P n0 n n0 Pn Pn 1 كا وإذا صحیحة صحیحة عبارة quot n n0 عبارة صحیحة فإن quot Pn تمرین تطبیقي بین بالترجع أن 2 2 n n n 4 تمرین 10 انظر لائحة التمارین

7 wwwsbaysitecom محمد الیمني مبادئ في المنطق تمارین تمرین 3 p q q أو p أن بین 1 2 اكتب العبارة p q r فقط باستعمال الفصل والنفي p أو q p و q وأن p و q p أو q أن بین 3 p q الاستلزام نفي استنتج 4 تمرین 4 اكتب العبارات التالیة باستعمال المكممات والروابط المنطقیة 1 كل عدد جذري a یكتب على الشكل q p و p Z حیث a q IN 2 بعض الأعداد الحقیقیة ھي أعداد جذریة 3 یوجد عدد صحیح طبیعي وحید أصغر من أو یساوي جمیع الأعداد الصحیحة الطبیعیة 4 لا یوجد أي عدد جذري x بحیث 3 2 x 5 العدد الصحیح الطبیعي الذي یقبل القسمة على 6 ھو أیضا قابل للقسمة على 2 وعلى 3 p x p 1 بحیث p وحید نسبي صحیح عدد یوجد IR من x یكن مھما 6 7 لكل x من IR یوجد على الأقل عدد صحیح طبیعي n بحیث n x 8 إذا كان عدد حقیقي أكبر من أو یساوي 2 فإن ھذا العدد موجب قطعا 9 كل عدد صحیح طبیعي یقبل القسمة على 8 ھو مضاعف للعدد 4 ABC 10 مثلث قائم الزاویة في A إذا وفقط إذا كان I منتصف القطعة BC یبعد بنفس المسافة عن رؤوس المثلث تمرین 5 1 تمرین 3 ص 29 من الكتاب المدرسي في رحاب الریاضیات 2 تمرین 4 ص 29 من الكتاب المدرسي تمرین 6 x y x 2x y 2y أن بین 1 المجال من عنصرین y و x لیكن 1 2 2 a 1 و b 1 a b ab 1 أن بین معلومان حقیقیان عددان b و a 2 0 a a 0 أن بین 3 تمرین 7 تمرین 15 ص 30 من الكتاب المدرسي تمرین 8 P 1 و Q مستویان یتقاطعان وفق مستقیم A D و B نقطتان من P حیث AB یقطع D في نقطة واحدة C لتكن E نقطة من Q لا تنتمي إلى D بین أن المستویین ABE وQ غیر منطبقین 2 تمرین 29 ص 31 من الكتاب المدرسي 3 أ بین أن x زوجي 2 x زوجي تمرین 9 1 تمرین 7 ص 30 من الكتاب المدرسي 2 تمرین 8 ص 30 من الكتاب المدرسي 3 تمرین 9 ص 30 من الكتاب المدرسي تمرین 10 31 ص 30 تمرین 1 31 ص 33 تمرین 2 31 ص 34 تمرین 3