مبادىء في المنطق

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 1 مبادئ في المنطق I- تعاريف ومصطلحات 1- العبارة الدالة العبارية أ- العبارة نشاط ضع العلامة في الخانة المناسبة نص رياضي صحيح خاطئ لا يمكن الحكم على صحتها أو خطئها بدون نقاش 8 4 32 p q مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي r آل عدد فردي هو عدد أولي 2 s الدالة t 2 زوجية دالة x حيث x x x y من عنصران y و x p x y p x 2 x xx 0 أ- تعريف نسمي عبارة آل جملة خبرية تحمل معنى و يكون صحيحا أو خاطئا و لا يمكن أن يكون صحيحا و خاطئا في نفس الوقتنرمز للعبارة بأحد الرموز p أو q أو r أمثلة النصوص p و q و r و s و t عبارات بعبارتين ليس p x و p x y النصان ب-الدالة عبارية في النشاط السابق اذا عوضنا x و y بعددين معلومين في التعبير x و y عنصران من x y نحصل على عبارة مثلا من أجل x y 1 6 نحصل على 1 6 عبارة خاطئة من أجل x y 1 4 نحصل على 1 4 عبارة صحيحة لذا نقول التعبير quot x و y عنصران من x y quot دالة عبارية x xx 0 quotدالة عبارية لأن إذا عوضنا x بأي قيمة من نحصل على عبارة 2 التعبير quot 2 20 عبارة صحيحة 2 مثلا من أجل x 2 1 من أجل 2 x 2 1 1 0 2 2 خاطئة عبارة تعريف آل نص رياضي يحتوي على متغير أو متغيرات ينتميأو تنتمي إلى مجموعة معينة و يصبح عبارة آلما عوضنا هدا المتغير بعنصر محدد من هذه المجموعة يسمى دالة عبارية 2- المكممات العبارات المكممة أ- المكمم الوجودي لتكن x E px دالة عبارية العبارة x E px تعني يوجد على الأقل عنصرا x من E يحقق p x الرمز يسمى المكمم الوجودي إذا آان يوجد عنصرا وحيدا x من E يحقق p x فإننا نكتب x E px

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 2 ب- المكمم الكوني لتكن x E px دالة عبارية العبارة x E px تعني أن جميع عناصر E تحقق p x تقرأ لكل x من E p x محقق أو صحيحة الرمز يسمى المكمم الكوني أمثلة ضع العلامة في الخانة المناسبة العبارة خاطئة صحيحة 2 x x 1 4 x x 1 0 cos 2 x x 2 4 x x 2 x x 0 2 xy x y 1 د- العبارات المكممة لتكن pxy دالة عبارية معرفة معرفة على E F نطبق أحد المكممين على الخاصية pxy بالنسبة للمتغير x مثلا المكمم الكوني نحصل على x E pxy دالة عبارية للمتغير y وهي غير مرتبطة ب x نطبق عليها أحد المكممين بالنسبة للمتغير y مثلا المكمم الوجودي y F x E pxy العبارة على فنحصل أمثلة 2 x 1 نأخد خاطئة عبارة x y yx صحيحة عبارة x y xy 2 خاطئة عبارة y x xy 2 صحيحة عبارة x y xy x y صحيحة عبارة x y xy 3 ملاحظة هامة ترتيب مكممات من نفس الطبيعة ليس له أهمية في تحديد المعنى التي تحمله العبارة المكممة ترتيب مكممات من طبيعة مختلفة له أهمية في تحديد المعنى التي تحمله العبارة المكممة II- العمليات المنطقية 1- نفي عبارة نشاط في حوار جرى بين فاطمة و أحمد أساسه أن آل ما قالته فاطمة ينفيه أحمد و آل ما قاله أحمد تنفيه فاطمة أنقل الجدول التالي إلى دفترك ثم أملئه حكمك على قول ما قالته فاطمة ما قاله أحمد فاطمة حكمك على قول أحمد 2 IN 7 25 49عدداولي 2 2 2

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 3 أ- تعريف نفي عبارة p هي عبارة نرمز لهاب p أو ب p تكون صحيحة إذا آانت p خاطئة و تكون خاطئة إذا آانت p صحيحة p تقرأ نفي p في جدول الحقيقة Tableau de vrit إذا آانت العبارة صحيحة نرمز لصحتها بالرمز1 أو V وإذا آانت خاطئة نرمز لعدم صحتهاب 0 أوF جدول حقيقة p أمثلة نفي العبارة 1 2 هي العبارة 1 2 نفي العبارة 3 هي العبارة 3 ب- نفي عبارة مكممة x E AX العبارة هي x E AX العبارة نفي x E AX العبارة هي x E AX العبارة نفي x E y F Axy العبارة هي x E y F Axy العبارة نفي x E y F Axy العبارة هي x E y F Axy العبارة نفي التالية العبارة نفي اعط مثال 2 2 z x y xyz 0 01 01 د- نتيجة الاستدلال بالمثال المضاد للبرهان على أن عبارة ما p خاطئة يكفي أن نبين أن نفيها p صحيحة x E Ax خطأ على للبرهنة x E Ax صحة نبرهن أن يكفي 1 تطبيق بين أن x x 2 خاطئة x x 2 نعتبر 1 5 2 2 2 2 1 ادن لدينا x x 2 عبارة صحيحة x 1 و منه x x 2 خاطئة x 2- الفصل المنطقي تعريف فصل العبارتين p و q هو العبارة التي تكون صحيحة إذا آانت على الأقل إحدى العبارتين p و q صحيحتين و تكتب p أ و q نكتبها أيضا p q جدول حقيقة p q p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 3 العبارة 2 صحيحة 5 2 أو العبارة 2 خاطئة 3 1 أو 2 4 ملاحظة العبارتان p أ و q و qأ و p تحملان نفس المعنى نقول عملية الفصل تبادلية p p 1 0 0 1

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 4 العبارتان r أو p أ و q و r أو p أ و q تحملان نفس المعنى نقول عملية الفصل تجميعية 3- العطف المنطقي تعريف عطف العبارتين p و q هو العبارة التي تكون صحيحة فقط إذا آانت العبارتان p و q صحيحتين معا و تكتب p و q نكتبها أيضا p q جدول حقيقة p q p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 مثال 3 العبارة 2 خاطئة 5 2 و العبارة 2 صحيحة 3 1 و x x 0 ملاحظة العبارتان p و q و q و p تحملان نفس المعنى نقول عملية العطف تبادلية العبارتان r و p و q و r و p و q تحملان نفس المعنى نقول عملية العطف تجميعية ذلك بين p p q pq q pq 4- الاستلزام تعريف استلزام العبارتين p و q هو العبارة التي تكون خاطئة فقط إذا آانت p صحيحة و q خاطئة و تكتب p q تقرأ p تستلزم q جدول حقيقة p q p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 أمثلة العبارة 2 صحيحة x x 0 415 العبارة 21 123 خاطئة صحيحة 3 2 9 5 1 20 العبارة صحيحة x 0 211 العبارة اصطلاح إذا آانت العبارة p q صحيحة نقول إن q استنتاج منطقي للعبارة p ملاحظة العبارتان p q و p q تحملان نفس المعنى q p يسمى الاستلزام العكسي للاستلزام p q للبرهنة على أن p q صحيحة يكفي أن نفترض أن p صحيحة و نبين أن q صحيحة نقول إن p شرط آاف لتحقيق q تمرين تطبيقي ليكن x

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 5 أن بين 1 3 5 11 2 3 42 x x x 1 2 نفترض أن 3 x و نبين أن 3 5 11 4 2 x x 5- التكافؤ المنطقي تعريف ليكن p و q عبارتين العبارة p q و q p تسمى تكافؤ العبارتين p و q وتكون صحيحة إذا آانت p و q لهما نفس قيم الحقيقة و نرمز لها ب p q و تقرأ p تكافئ q أو p إذا وفقط إذا q أو p شرط لازم و آاف لتحقيق q جدول حقيقة p q p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 أمثلة العبارة 5 عدد فردي 3 2 صحيحة العبارة 1- عدد موجب 523 صحيحة العبارة 21 1 خاطئة ملاحظة p q qp نقول إن التكافؤ عملية تبادلية p qr pq r نقول إن التكافؤ عملية تجميعية تمرين نقترح عليك برهانين نستعمل فيهما الرمز quot quot بطريقة مسترسلة أحد البرهانين خاطئ و المطلوب منك التعرف عليه مع إعطاء تعليل لجوابك لدينا IR من x ليكن 1 2 2 x x 32 34 2 x 1 x 1 من x ليكن 2 لدينا 1 1 x x 2 20 x x 2 1 2 0 x x x 2 1 x x تمرين باستعمال جداول الحقيقة بين أن p q pq و p q pq صحيحة p q pq III- القوانين المنطقية آل عبارة مكونة من عبارتين أو عدة عبارات rq p مرتبطة بينها بالعمليات المنطقية و تكون صحيحة مهما آانت العبارات rq p تسمى قانونا منطقيا 1- أنشطة بين أن العبارات التالية قوانين منطقية

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 6 p pq q p p p p p q qr pr ملاحظة و اصطلاح لدينا p pq q قانون منطقي و يسمى القاعدة العامة للاستدلال الاستنتاجي للبرهان على صحة العبارة q نبين أن الاستلزام p q صحيحا حيث p عبارة ما صحيحة ثم نستنتج أن q صحيحة قانون منطقي نقول إن الاستلزام عملية متعدية لدينا p q qr pr 2- بعض القوانين المنطقية أ- قوانين مورآان LOIS DE MORGAN العبارات التالية قوانين منطقية p q pq pq pq p qr pq pr p qr pq pr النظمة 2 تطبيق حل في 2 2 2 2 x y x y الحل 22 0 0 22 0 22 0 2 2 2 2 3 3 xy S x y x y x y xy xy xy xy xy x y اذن 2 2 22 3 3 S تمرين العبارات نفي اعط 2 xx x 10 10 01 0 1 1 x y x y xy xy ب- قانون التكافؤات المتتالية A B BC AC العبارة منطقي قانون نتيجة الاستدلال بالتكافؤات المتتالية نستنتج من هذا القانون أنه اذا آان A B و B C فان A C صحبحا تمرين ليكن 2 x y 1 2 4 28 أن بين 2 x y x y xy د- قانون الاستلزام المضاد للعكس العبارة AB BA قانون منطقي ملاحظة في بعض الأحيان يصعب البرهان على صحة A B فنلجأ الى البرهان على صحة B A ثم نستنتج صحة A B هذا البرهان يسمى الاستدلال بالاستلزام المضاد للعكس

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 7 تمرين ليكن x أن بين 2 8 2 5 x x x نتيجة AB AB قانون منطقي ج- قانون الخلف منطقي قانون B C BC B نتيجة الاستدلال بالخلف نفترض أن B صحيحة ونبين أن B C صحيحة أي C صحيحة حيث Cعبارة ما صحيحة أي B C صحيحة و هذا تناقض لأن C لا يمكن أن تكون صحيحة و خاطئة في نفس الوقت ثم نستنتج أن B صحيحة هذا نوع من الاستدلال يسمى الاستدلال بالخلف تمرين برهن أن 2 ر- قانون فصل الحالات A B B C AB C منطقي قانون ملاحظة إذا آانت A B صحيحة فانه للبرهنة على صحة C نبين أن A C صحيحة و B C صحيحة ثم نستنتج أن C صحيحة هذا الاستدلال يسمى الاستدلال بفصل الحالات A C AC C نطبق عمليا دائما صحيحة A A لأن 2 x x 110 تمرين حل في المعادلة VI- مبدأ الترجع خاصية لتكن p n خاصية لمتغير n صحيح طبيعي p n صحيحة 0 بحيث تكون العبارة n0 إذا آان يوجد عدد صحيح طبيعي العبارة آانت إذا و 0 العبارة فان صحيحة n n pn pn 1 0 n n pn صحيحة ملاحظة n n pn صحيحة نتبع الخطوات التالية 0 للبرهان على أن التحقق p n صحيحة 0 نتحقق أن العبارة افتراض الترجع و نبين أن p n 1 صحيحة n n 0 نفترض أن العبارة p n صحيحة هذا الاستدلال يسمى الاستدلال بالترجع بالترجع بين تمرين 2 4 2n n n 2 2 2 12 1 1 2 6 nn n n n